DOMINIO, RANGO, FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

DOMINIO

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que debe tomar la variable independiente "x."

Pueden darse en:

1. Diagrama de flechas.
2. A partir de una gráfica.
   
   
   
   

RANGO

El rango de una función es el conjunto de todos los valores que debe tener la variable dependiente "y."

Pueden darse en:

1. Diagrama de flechas.
2. A partir de una gráfica.
   
   
   

A continuación en el siguiente video se mostrarán ejemplos sobre dominio y rango:

                 

FUNCIONES LINEAS

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también son todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. 

Una función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx+ b llamada ecuación canónica, en donde me es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

EJEMPLO:

                    

                   

FUNCIONES CUADRÁTICAS

• Ecuación de la forma  ax2 + bx + c

Para resolver ecuaciones cuadráticas de este tipo se pueden resolver por factorización o fórmula general.

EJEMPLO: 

               

• Ecuación de la forma ax2 + bx = 0

Este tipo de ecuaciones, lo primero que se hace es sacar x como factor común de ambas expresiones y luego cada factor se iguala a 0 y se despeja x.

EJEMPLO:

                 

• Ecuación de la forma ax2 + c

Este tipo de ecuaciones son las más sencillas de resolver igual que las de primer grado.

EJEMPLO:

              

CONJUNTOS, TIPOS DE CONJUNTOS, OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.

CONJUNTOS

Un conjunto es una colección o agrupación de objetos que poseen alguna característica en común.

DESCRIPCIÓN DE CONJUNTOS:

COMPRENSIÓN: Para referirnos a una características de los elementos,

                                 A= {es consonante de la palabra amistad}

EXTINCIÓN/TABULACIÓN; Cuando se listan todos los elementos.

                                                     A={d,m,s,t}

DIAGRAMA DE VENN: Cuando se desea representar el conjunto gráficamente.

                                                        A= 🌕

CARDINALIDAD: Representa la letra del conjunto simbología N(A).

                                          N(A): 5 porque A={1,3,5,7,9}

EJEMPLO:

TIPOS DE CONJUNTOS

CONJUNTO VACÍO: Estos conjuntos carecen de elementos o bien, estos son inexistentes.
EJEMPLO: Un unicornio, en el caso del elemento inexistente.

CONJUNTO UNITARIO: Estos conjuntos están conformados por un solo miembro o elemento.
EJEMPLO: La letra A.

CONJUNTO FINITO: En este conjunto los elementos o miembros que lo conforman pueden ser enumerados o contados.
EJEMPLO: El agrupamiento de todas las letras del abecedario confirmaría una letra de esta clase.

CONJUNTO INFINITO: En estos conjuntos, los miembros que lo conforman no pueden ser enumerados ni contados.
EJEMPLO: Los granos de arena en el planeta.

CONJUNTO IGUALES: Esto se da cuando dos o más conjuntos tienen elementos iguales.
EJEMPLO: El conjunto A es 2,4,6,8 y el conjunto B 8,6,4,2

CONJUNTOS DISYUNTOS: Estos conjuntos no poseen ningún elemento o miembro que coincidan.
EJEMPLO: El grupo A tienen los elementos de a.b.c y el conjunto B d,e,f.

CONJUNTO REFERENCIAL: A este conjunto también se lo conoce como universal y se caracterizan por estar conformados por los miembros de todos los elementos que forman parte de la caracterización.
EJEMPLO: El conjunto A está compuesto de 1,3,5,7 y el B por 2,4,6. Mientras que el conjunto universal es: 1,2,3,4,5,6,7.

EJEMPLO:

             

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

UNIÓN ENTRE CONJUNTOS: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto AUB que contiene todos los elementos de A y de B.

INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS: LA intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de A ⋂ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS: La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A\B que contiene todos los elementos de  A que no pertenecen a B.

DIFERENCIA SIMÉTRICA ENTRE CONJUNTOS: La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos A y B que no son comunes.

COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS: El complemento de un conjunto A es el conjunto Ac que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

EJEMPLO:

        

ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES

                                                       

Se denomina ecuación a la igualdad matemática entre dos expresiones, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incógnita, relacionadas mediante operaciones matemáticas.

TIPOS DE ECUACIONES

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:  Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre variables, es decir, una ecuación que sólo involucra sumas y restas de una variable a la primera potencia. 

EJEMPLO:

                    

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

                                              ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0

EJEMPLO:

                                                   

ECUACIÓN DE TERCER GRADO: Una ecuación algebraica de tercer grado o ecuación cúbica con una incógnita es aquella de tres grados que se puede poner bajo la forma canónica: 

                                                          ax3 + bx2 + cx + d = 0 

EJEMPLO:

                    

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODO DE ADICCIÓN O SUSTRACCIÓN: Para resolver un sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se elimina una incógnita y se procede a resolver la ecuación resultante con respecto a la otra incógnita.

EJEMPLO:



                



MÉTODO DE IGUALACIÓN: Este método consiste en despejar una misma incógnita de dos ecuaciones e igualarlas obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

EJEMPLO:

                


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Este método consiste en despejar una incógnita de una ecuación y sustituirla en la otra, obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

EJEMPLO:

                  

SISTEMAS DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se denomina sistemas cuadráticas, los sistemas de ecuaciones que contienen al menos una ecuación de segundo grado y ninguna ecuación de grado superior al segundo.
Los sistemas de ecuaciones cuadráticas se los puede resolver por los mismo métodos utilizados en los sistemas de ecuaciones lineales.

EJEMPLO:

                   

INECUACIONES

Una inecuación es una expresión matemática lo cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cales quiera de ese conjunto cumpliendo estas desigualdades. A este conjunto se lo cono ce como intervalos.
La notación a∠b significa que a es menor que b y la notación a>b significa que a es mayor a b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas.

PROPIEDADES DE DESIGUALDADES

Las desigualdades se siguen por las siguientes propiedades:

• Al sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de esta no cambia.

                                                                         a>b

                                                                a + m >  b + m

• Es decir en toda desigualdad se puede pasar términos de un miembro a otro, siempre y cuando cambie el sentido de la desigualdad.

                                                                     3x - 5 > 2

                                                                    3x > 2 + 5 

                                                                        3x>7

• Si se multiplica o se divide los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad positiva se obtiene otra desigualdad del mismo sentido.

                                                                         a>b

                                                                       6a> 6b

• Si multiplica o se divide los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad negativa se obtiene otra desigualdad de sentido contrario.

                                                                       a>b

                                                                     -a>-b

• En toda desigualdad de términos positivos, se puede elevar ambos miembros a una potencia par, o extraer una raíz de índice par, manteniendo el sentido de la desigualdad.

                                                                     5>2

                                                                   5೩>2೩

• En toda desigualdad de términos negativos se puede elevar ambos miembros a una potencia par, cambiando el sentido de desigualdad.
• Cuando los dos miembros de una desigualdad tienen el mismo signo es posible elevar a una potencia impar o extraer la raíz de índice impar, conservando el sentido de la desigualdad.

                                                                  (-2) < (-1)

                                                                 (-2)3 < (-1)

• Cuando se desea invertir una desigualdad que sus miembros presentan el mismo signo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.

INECUACIONES DE PRIMER GRADO:  La solución de la inecuación se la obtiene aplicando a las propiedades y el resultado es un conjunto de números intervalos.

EJEMPLO:

                   

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: Para resolver un grado mayor que dos, se debe seguir las siguientes recomendaciones:

1. Factorar el polinomio.
2. Cada valor debe ser igual a 0.
3. Despeje la variable para encontrar los puntos críticos.
4. Graficar los puntos críticos en la recta real.
5. Tabular una tabla asignándoles valores a x.
6. La solución está dada por zonas positivas si la desigualdad es mayor a 0 o por zonas negativas si es menos que 0.

EJEMPLO:

                   

PROPOSICIONES, OPERADORES LÓGICOS, TAUTOLOGÍA, CONTINGENCIA Y CONTRADICCIÓN

PROPOSICIONES

Una proposición es una unidad semántica que puede ser verdadera o falsa.

EJEMPLO:

- Sombrero de paja toquilla.

- Tren veloz.

- Sol brillante.

- 5 es un número primo.
- Todos los números enteros son positivos.


Existen proposiciones simples y compuestas, las cuales veremos a continuación:

PROPOSICIONES SIMPLES: No poseen operadores lógicos.
EJEMPLO:
- Gorro azul.

            

PROPOSICIONES COMPUESTAS: Están formadas por otras proposiciones y operadores lógicos.
EJEMPLO:
- Sí estudio, aprobaré las materias.


            

OPERADORES LÓGICOS  

Los operadores lógicos son palabras o símbolos que se utilizan para darle una búsqueda a un orden lógico

NEGACIÓN: Este cambia el valor de verdad de una proposición, tiene como significado "no".

CONJUNCIÓN: Tiene como significado "y" "pero" "más". Esta sólo es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas.

DISYUNCIÓN: Tiene como significado "o". Esta sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. 

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA: Tiene como significado "o" "o solo" "o solamente". Esta sólo es verdadera cuando una de las proposiciones son verdaderas.

CONDICIONAL: Tiene como significado "entonces" "sólo sí" "cuando" "siempre que" "ya que" "cada vez que". Esta sólo es falsa cuando la primera es verdadera y la segunda falsa.

BICONDICIONAL: Tiene como significado "sí y sólo sí" "y solamente sí" "implica" "cuando y sólo cuando". Esta sólo será verdadera cuando las proposiciones sean iguales. 

También tenemos:

RECÍPROCA: Invierte la posición de las proposiciones.

INVERSA: Niega las dos proposiciones.

CONTRARECÍPROCA: Invierte la posiciones de las proposiciones y las niega a la vez.

A continuación les mostraré un ejemplo acerca de los operadores lógicos:

            

TAUTOLOGÍA

Es cuando solamente se tienen proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

CONTRADICCIÓN 

Es cuando solamente se tienen proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

CONTINGENCIA

Es cuando tienen algunas proposiciones verdaderas y algunas proposiciones falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales.

EJEMPLO: